Cuadratura cercului

Vechii greci şi-au pus următoarea problemă: de vreme ce pot construi figuri geometrice cu aria egală cu a altor figuri geometrice, cum ar fi un pătrat cu aria egală cu a unui triunghi, nu ar putea desena cu ajutorul liniei şi compasului un pătrat care să aibă aria unui cerc oarecare? Ce i-a încurcat să facă asta a fost inofensivul, la o primă vedere, PI...

Problema, venind din Grecia antică, este următoarea: cum să construieşti un pătrat care să aibă aria egală cu aria unui cerc oarecare, folosind o linie şi un compas. Deşi la prima vedere poate părea o sarcină uşoară, se va vedea nu numai că nu este aşa, ci că, în fapt, este o sarcină imposibil de realizat.

Generalităţi

Geometria lui Euclid (apx. 325-265 î.e.n.), cuprinsă în celebra lucrare "Elementele", a constituit bazele predării geometriei, aproape fără modificări, până în secolul al XX-lea. Şi astăzi geometria euclidiană deţine o foarte importantă parte din predarea geometriei în şcoli, la peste 2000 de ani de la apariţie.

 

Euclid
credit: nndb.com

În "Elementele", Euclid a creat cinci postulate (afirmaţii care trebuie considerate adevărate şi fundamentale fără dovezi în acest sens) care au pus bazele geometriei ce îi poartă numele. De interes pentru întreprinderea noastră sunt primele trei:
- o linie dreaptă poate fi trasă între oricare două puncte;
- o linie dreaptă poate fi prelungită la infinit;
- un cerc poate fi desenat având ca centru orice punct şi orice segment ca rază.

 

Pagină din "Elementele" de Euclid
credit: blc.edu

Deşi nici unul dintre aceste postulate nu fac referire la folosirea obligatorie a liniei şi a compasului, grecii înţelegeau de la sine (metoda planului) că desenarea figurilor geometrice se face cu ajutorul acestor două instrumente. Această tradiţie este atribuită lui Platon. Metoda planului a funcţionat pentru cele mai multe provocări ale geometriei, dar trei probleme nu se lăsau rezolvate nicicum: cuadratura cercului¹, dublarea cubului şi împărţirea în trei părţi egale a unui unghi. În acest articol ne ocupăm de prima problemă, pentru ca detalierea celorlalte două să fie făcută în articole viitoare.

 

Scurtă istorie a eşecului

Geometrii greci au reuşit, cu ajutorul liniei şi compasului, să creeze pătrate ale căror arii să fie egale cu ariile altor figuri formate din linii drepte, cum sunt triunghiul ori dreptunghiul. Problema ce a dat bătăi de cap matematicienilor timp de multe secole a fost să găsească o cale de desena un pătrat care să aibă exact aria unui cerc. Matematicienii greci sunt cei care au făcut această problemă faimoasă, însă preocupări în acest sens au existat atât în Babilonul antic, cât şi în India ori China.

Matematicianul şi filozoful grec Anaxagoras (499-428 î.e.n) a fost printre primii care au în încercat găsirea unei soluţii pentru cuadratura cercului. Dar primul progres a fost realizat de către alţi doi matematicieni greci, Antiphon şi Bryson. Primul a aproximat aria cercului înscriind un pătrat într-un cerc, apoi înscriind figuri geometrice cu din ce în ce mai multe laturi şi din ce în ce mai mici în spaţiul rămas neacoperit. După cum se poate uşor imagina, deşi aproximarea ariei cercului atinge rezultate bune, niciodată nu va fi acoperită întreaga suprafaţă a cercului. Bryson a dus acest efort mai departe circumscriind poligoane cercului, obţinând astfel o plajă de valori în care aria cercului trebuia să se încadreze: între valoarea ariei poligonului circumscris cercului şi valoarea ariei figurilor înscrise.

 

Luna lui Hippocrate
credit: wikipedia.org

Hippocrate din Chios (470-410 î.e.n.) a reuşit să construiască un pătrat egal cu aria unei figuri geometrice numită "lună". Vezi imaginea de mai jos pentru exemplificare. Întrucât luna este o regiune mărginită de arcuri de cerc, Hippocrate (nu este vorba despre celebrul doctor antic) părea să se afle pe direcţia bună pentru rezolvarea cuadraturii cercului. Acesta a reuşit să creeze pătrate cu aria egală cu trei tipuri de luni. Era matematicienilor care au încercat această metodă a lunilor s-a încheiat cu Leonhard Euler (1707-1783) care a mai găsit două tipuri de luni pentru care s-au putut crea pătrate cu aria egală; dar alte luni cu aceleaşi proprietăţi nu au mai putut fi identificate.

 

Quadratixul lui Hippias
credit: wikipedia.org

Matematicienii Dinostratus (390-320 î.e.n.) şi Nocomedes (280-210 î.e.n.) au folosit o curbă numită "quadratix" pentru a rezolva cuadratura cercului. Şi marele matematician Arhimede (287-212 î.e.n.) a inventat o curbă numită "spirala lui Arhimede" care, de asemenea, a aspirat la a fi soluţia problemei.

Spirala lui Arhimede
credit: wikipedia.org

Numai că cele două soluţii aveau ele însele o mare problemă: nu se puteau construi cu un compas şi o linie, iar mare provocare implica folosirea celor două instrumente.

Doar un strop de matematică...
 

 

Aria cercului este dată de formula: A=πxr² , unde π este numărul pi, iar r este raza cercului.
π (PI) este un număr definit ca raportul dintre circumferinţa cercului şi diametrul acestuia. Deci, ca să cunoşti aria cercului, trebuie să cunoşti valoarea lui π. Aşadar, determinarea valorii exacte a lui π părea să rezolve problema cuadraturii cercului, căci odată cunoscută această valoare, tot ce mai trebuia făcut era să se deseneze un pătrat cu latura cu lungimea egală cu √π. Matematicieni faimoşi, precum Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Gottfried Leibniz (1646-1716) ori Isaac Newton (1642-1727) au încercat o aproximare cât mai bună a valorii lui pi, care, în fapt, însemna, în cazul unei reuşite, şi rezolvarea problemei noastre.

 

Eşecul definitiv...

În 1768 Johann Heinrich Lambert a avansat ipoteza că π este un număr transcendental, iar în acelaşi document a arătat că este un număr iraţional, adică faptul că π are zecimale ce nu se termină niciodată şi nu se repetă. Abia în 1882 matematicianul german Ferdinand von Lindemann (1852-1939) a demonstrat că π este un număr transcendental - care nu poate fi rădăcină pătratică a unei ecuaţii cu coeficienţi întregi.

Aşadar, a desena un pătrat cu aria identică cu a unui cerc este imposibil, căci trebuia desenat un pătrat cu latura egală cu un număr imprecis, cu zecimale nesfârşite; pentru a desena un pătrat cu aria foarte apropiată de cea a unui cerc, trebuie folosit un număr raţional, adică un număr stabilit de zecimale ale valorii lui π.

 

Valoarea lui π, cu 50 de zecimale, este 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510.

 

Beneficiile "luptei" pentru cuadratura cercului

Numeroasele încercări de a realiza cuadratura cercului a produs şi progrese în matematică. Unul dintre cele mai importante aspecte este dezvoltarea calculului integralelor din analiza matematică, ramură a matematicii inventată şi dezvoltată de Newton şi Leibniz în acelaşi timp.

Un exemplu în care cuadratura cercului funcţionează este spaţiul Gauss-Bolyai-Lobachevsky (spaţiul geometric hiperbolic), un spaţiu neeuclidian.

Definiţii:
1. Cuadratura cercului: procesul construirii exclusiv cu rigla şi cu compasul a unui pătrat care să aibă aria egală cu aria unei figuri date.

 

Sursa:scientia.ro